Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} - 1 - i & 1 - 2 & 1 - i \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 00 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 - i & 1 \\ - 2 & 1 - i \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere

[\begin{matrix} - 1 - i & 1 - 2 & 1 - i \end{matrix}] [\begin{matrix} a b \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - 1 - i & 1 \\ - 2 & 1 - i \end{array}] [\begin{array}{c} a \\ b \end{array}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is

2 \times 2

$2 \times 2$ and the second matrix is

2 \times 1

$2 \times 1$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

[\begin{matrix} (- 1 - i) a + 1 b - 2 a + (1 - i) b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 00 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} (- 1 - i) a + 1 b \\ - 2 a + (1 - i) b \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

[\begin{matrix} - a - i a + b - 2 a + 1 b - i b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 00 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - a - i a + b \\ - 2 a + 1 b - i b \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere

b

$b$ mit

1

$1$ .

[\begin{matrix} - a - i a + b - 2 a + b - i b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 00 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - a - i a + b \\ - 2 a + b - i b \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} - a - i a + b - 2 a + b - i b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 00 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - a - i a + b \\ - 2 a + b - i b \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

[\begin{matrix} - a - i a + b - 2 a + b - i b \end{matrix}] = [\begin{matrix} 00 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - a - i a + b \\ - 2 a + b - i b \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Schritt 2

Write as a linear system of equations.

- a - i a + b = 0

$- a - i a + b = 0$

- 2 a + b - i b = 0

$- 2 a + b - i b = 0$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht

b

$b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Addiere

a

$a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

- i a + b = a

$- i a + b = a$

- 2 a + b - i b = 0

$- 2 a + b - i b = 0$

Schritt 3.1.2

Addiere

i a

$i a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

b = a + i a

$b = a + i a$

- 2 a + b - i b = 0

$- 2 a + b - i b = 0$

b = a + i a

$b = a + i a$

- 2 a + b - i b = 0

$- 2 a + b - i b = 0$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von

b

$b$ durch

a + i a

$a + i a$ in jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Ersetze alle

b

$b$ in

- 2 a + b - i b = 0

$- 2 a + b - i b = 0$ durch

a + i a

$a + i a$ .

- 2 a + a + i a - i (a + i a) = 0

$- 2 a + a + i a - i (a + i a) = 0$

b = a + i a

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1

Vereinfache

- 2 a + a + i a - i (a + i a)

$- 2 a + a + i a - i (a + i a)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

- 2 a + a + i a - i (a + i a) = 0

$- 2 a + a + i a - i (a + i a) = 0$

b = a + i a

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

- 2 a + a + i a - i a - i (i a) = 0

$- 2 a + a + i a - i a - i (i a) = 0$

b = a + i a

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Multipliziere

- i (i a)

$- i (i a)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.2.2.1

Potenziere

$i$ mit

$1$ .

$- 2 a + a + i a - i a - i i a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.2.2

Potenziere

$i$ mit

$1$ .

$- 2 a + a + i a - i a - i i a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.2.3

Wende die Exponentenregel

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 a + a + i a - i a - i^{1 + 1} a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.2.4

Addiere

$1$ und

$1$ .

$- 2 a + a + i a - i a - i^{2} a = 0$

$b = a + i a$

$- 2 a + a + i a - i a - i^{2} a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.2.3.1

Schreibe

$i^{2}$ als

$- 1$ um.

$- 2 a + a + i a - i a + 1 a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.3.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- 2 a + a + i a - i a + 1 a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.2.3.3

Mutltipliziere

$a$ mit

$1$ .

$- 2 a + a + i a - i a + a = 0$

$b = a + i a$

$- 2 a + a + i a - i a + a = 0$

$b = a + i a$

$- 2 a + a + i a - i a + a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in

$- 2 a + a + i a - i a + a$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.2.1.3.1.1

Subtrahiere

$i a$ von

$i a$ .

$- 2 a + a + 0 + a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.3.1.2

Addiere

$- 2 a + a$ und

$0$ .

$- 2 a + a + a = 0$

$b = a + i a$

$- 2 a + a + a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Addiere

$- 2 a$ und

$a$ .

$- a + a = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Addiere

$- a$ und

$a$ .

$0 = 0$

$b = a + i a$

$0 = 0$

$b = a + i a$

$0 = 0$

$b = a + i a$

$0 = 0$

$b = a + i a$

$0 = 0$

$b = a + i a$

Schritt 3.3

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$b = a + i a$